Intersección entre cilindros. Método de los planos cortantes

Dados dos cilindros cuyos ejes son paralelos al plano de proyección horizontal. Se pueden hallar puntos de intersección, trazando planos auxiliares paralelos al plano horizontal.  Notar que los planos auxiliares pasan por puntos característicos de la intersección, como son el centro de uno de los cilindros y los puntos límites de intersección. Por emcima del plano superior y por debajo del plano inferior no habrá puntos en común entre los cilindros.Una vez trazados los planos, se puede obtener la intersección de cada uno de los planos con el cilindro que corta. Estas intersecciones serán rectángulos.

                Si trasladamos el problema y los planos auxiliares a una vista auxiliar, perpendicular al eje del cilindro menor, podremos obtener de forma sencilla la intersección de los planos con el cilindro. Estas intersecciones también serán rectángulos.

                De la intersección de dos rectángulos generados por el mismo plano auxiliar, podemos obtener en la proyección horizontal, 4 puntos de intersección que serán pertenecientes a ambos cilindros y al plano auxiliar, por lo tanto, puntos de la solución.

                Notar que los planos auxiliares límite, darán de intersección   una recta y con el otro un rectángulo por lo tanto obtendremos 2 puntos y no cuatro.

                Este método puede dar como resultado cualquiera de los casos vistos anteriormente y se puede utilizar tanto con cilindros como con prismas. A continuación se adjunta un plano resuelto con el método aplicado.

Plano 4         

SI ESTA ENTRADA LE FUE ÚTIL, POR FAVOR, DEJE UN COMENTARIO

Intersección entre cilindros de sección circular, cuando sus ejes son oblicuos y alabeados

En la mayoría de las prácticas de ingeniería la intersección de dos cilindros en el espacio se da en una posición no del todo adecuada para su resolución. Así, por ejemplo, en el trazado de cañerías podemos encontrar dos cilindros de sección circular (cilindros rectos) cuyos ejes no son concurrentes y no conocemos la base de ninguno de los dos cilindros.  

                Para resolver este tipo de intersecciones se pueden emplear distintos recursos de la Geometría Descriptiva. En este caso emplearemos el que, a nuestro entender, es el más exacto en el trazado, denominado "Método de la proyección de perfil".

                Este método consiste en hacer los cambios de plano suficientes para poder ubicar los cilindros de forma tal que uno de sus ejes quede perpendicular a un plano de proyección y el otro quede de forma paralela al mismo plano. Así obtendremos un caso particular de intersección entre cilindros visto en el punto 4 (Método del plano cortante)

                En el plano 5 podemos ver que se plantean dos cilindros de sección circular de diámetros D1 y D2, con ejes alabeados (2 rectas oblicuas que no se cortan) dados por sus proyecciones A’B’; A’’B’’ y C’D’;C’’D’’.

                Para poder obtener una vista favorable para la resolución de la intersección debemos aplicar dos cambios de plano. El primero será un cambio de plano horizontal y el segundo uno vertical.

                El primer cambio de plano, se realizará tomando como línea de tierra una recta paralela al eje de uno de los cilindros. En este caso el eje C’’D’’. De esta manera obtendremos un nuevo plano de proyección horizontal (PP1) que será paralelo al eje (C’D’).

                El segundo cambio de plano, se realizará tomando como línea de tierra una recta perpendicular al eje en verdadera magnitud (C’D’). De esta manera obtendremos la proyección de punta del cilindro de eje ((C’’D’’)) y una proyección de perfil del cilindro de eje ((A’’B’’)).

                Esta nueva configuración dada por los planos de proyección (PP1) y ((PP2)) Permite hallar la intersección por el método de los Planos cortantes (que se explicará mas adelante). A continuación se adjunta un archivo con el plano en PDF com buena calidad.

Plano 5 PDF

               

Impresión CAD

En este video se pretende mostrar los pasos para imprimir un plano formato A4 con rótulo en sistemas CAD. Para el video se utilizó el programa Draftsight (de licencia libre) similar al AutoCAD. Las herramientas son similares, solo cambian los nombres Cualquier duda pueden dejar un comentario.

Intersección entre plano y esfera.

En breve explicación

Desarrollo de la esfera

Si bien la esfera es un cuerpo NO Desarrollable, se pueden obtener desarrollos aproximados de la misma. El método más utilizado es el de aproximación por conos (Ver figuras).
Este método consiste en dividir la esfera con planos horizontales y aproximar cada sección con un cono truncado. Existen otros métodos como el de aproximación por cilindros pero se obtienen desarrollos menos exactos que el planteado.
La aplicación práctica del desarrollo de la esfera es, principalemnte, la construcción de tanques para el almacenamiento de gases y líquidos. si bien son de compleja hechura, la esfera es el cuerpo que contiene más volumen con la menor superficie.
 En las figuras, se pueden observar las proyecciones horizontal y vertical de media esfera y los tres conos truncados de aproximación. Luego se muestra el desarrollo de los tres conos correspondientes a la media esfera planteada.

Desarrollos e intersecciones

desarrollo de prisma, cilindro, pirámide y cono. intersecciones de los mismos con planos inclinados.

Proyecciones. (Video)

En este video se puede ver una clase magistral de proyecciones. Existen otros 18 videos también recomendables. Si se visualizan desde youtube, se puede utilizar la traducción on line. Se recomienda la traducción al inglés ya que al español es bastante mala.

1.3.1.-Representación del Punto. Del Espacio al plano

Para representar un punto ubicado en el espacio (Fig . 1) en un sistema plano(Fig. 3) se debe recurrir al abatimiento de los planos de proyección(Método Monge ISO-E). Dejando fijo, por ejemplo, el plano p2, se pueden rotar (Fig. 2) los planos anteriormente ortogonales de forma tal que sean coplanares con p2. Así se obtiene una figura plana, que no es más que la representación del punto en el espacio.

 Esta representación plana se puede simplificar eliminando los contornos de los planos de proyección y dibujando solamente una línea horizontal ( Linea de tierra) y una vertical( Linea auxiliar)(Fig. 4).

La línea de tierra representa el límite entre el plano de proyección vertical (p2) y el horizontal (p1). La línea auxiliar, representa el límite entre el plano de proyección vertical (p2) y el lateral (p3).

Por debajo de la línea de tierra se deberán dibujar dos segmentos que indican la posición del plano horizontal.  

Como conclusión se puede decir que, un punto ubicado arbitrariamente en el espacio se puede representar de forma exacta  por tres proyecciones ortogonales y paralelas. La distancia que hay desde el punto y cada uno de los planos de proyección se puede medir en la representación.

A partir de ahora se representarán los puntos, rectas y cualquier objeto con este sistema de proyecciones inventado por Gaspard Monge y que lleva su nombre “Sistema MONGE”.  

1.3.-Representación del punto en el espacio

Para representar un punto en el espacio se utilizará un sistema de proyecciones paralelas y ortogonales. Para ello se define un triedro formado por tres planos de proyección ortogonales entre sí (p1, p 2, p 3)

 Dado un punto (P) ubicado arbitrariamente en el espacio,  se puede obtener una proyección del mismo (P”) ubicando al observador en el infinito, de forma tal que el rayo proyectante sea ortogonal al plano de proyección(p2). Como se puede ver en la figura, el rayo proyectante que nace en el observador, pasa por el punto (P) y define una proyección (P”) producto de la intersección entre el plano de proyección y el rayo proyectante.

De la misma manera, se obtienen las tres proyecciones del punto (P) sobre los tres planos de proyección principales. Notesé que el observador cambia de posición para obtener cada proyección (P’,P”,P’’’).

5.1.-Desarrollo del cilindro recto

Dado un cilindro recto y un plano inclinado (a) representados por s sus proyecciones horizontal y vertical (Fig. 1), se realizará el desarrollo de la superficie cilíndrica cortada por el plano.

Para ello, se dividirá el perímetro de la base del cilindro en 8 partes iguales. Cada una de las divisiones define una generatriz perteneciente a la superficie cilíndrica representadas por las rectas A”J”, B”K”, C”L”, D”M”, E”N”, F”O”, G”P”, H”Q”.  Estas rectas, por estar ubicadas de forma perpendicular al plano de proyección horizontal, están en Verdadera Magnitud (VM). Cada una de las generatrices contiene un punto producto de la intersección con el plano a  (1”,2”…,8”).  También están en VM las distancias entre estos puntos y la base del cilindro. La distancia que existe entre dos generatrices continuas también está en VM en la proyección horizontal y corresponde, por ejemplo la cuerda (A’B’). Esta cuerda mide 1/8 del perímetro de la base.

Se puede entonces, confeccionar el desarrollo de la superficie cilíndrica cortada, transportando las medidas en VM   a una superficie plana (Fig.3). El método consiste en dibujar una segmetno horizontal (EE) de longitud igual al preímetro de la base. Luego dividir este segmento en ocho partes iguales y dibujar de forma ortogonal una generatriz del cilindro por cada división. Sobre cada una de ellas se pueden posicionar los puntos de intersección con a (1,2,…,8) . Uniendo los puntos recién obtenidos se obtiene la curva 1,2,3,4,5,6,7,8,1 intersección entre el cilindro y el plano dado.

 La figura 2 muestra la transición entre la superficie cilíndrica y su desarrollo.

En el próximo capítulo se obtendrá en verdadera magnitud la sección generada por la intersección entre a y el cilindro recto.

1.2.-Clasificación de las proyecciones

De acuerdo con la posición del observador, se pueden clasificar las proyecciones de la siguiente manera.

Proyecciones centrales.(fig 1) Es cuando el observador se encuentra a una distancia finita respecto al plano de proyección. Los rayos proyectantes son lineas concurrentes. Un caso particular de este tipo de proyecciones son las perspectivas con puntos de fuga.

Proyecciones paralelas. Es cuando el observador se encuentra a una distancia infinita respecto al plano de proyección. Los rayos proyectantes son paralelos entre sí. y pueden incidir en forma perpendicular u oblicua al plano de proyección.

• Proyecciones paralelas oblicuas.(fig 2) Es cuando los rayos de proyección (paralelos entre sí) forman un ángulo distinto de 90° con el plano de proyección. Un caso particular es la perspectiva caballera.
• Proyecciones paralelas ortogonales. (fig 3) Es cuando los rayos de proyección (paralelos entre sí) forman un ángulo de 90° con el plano de proyección. Un caso particular es la perspectiva isométrica.

1.1.-Proyección. Definición.Elementos de una proyección

Una proyección es la representación de un objeto (en general tridimensional) en un sistema bidimensional (hoja de papel,  pantalla, chapa, etc).

Para representar un objeto por medio de una proyección debe considerarse la presencia de estos elementos:

1.-Observador. También denominado "centro de proyección". Es el punto que representa la posición del ojo de la persona que está realizando la proyección. en él concurren los rayos proyectantes. El observador puede tomar cualquier posición en el espacio. Si está ubicado a una distancia finita respecto del plano de proyección se denomina "Centro de Proyección Propio" y si está ubicado a una distancia infinita se denomina "Centro de proyección impropio".

2.-Plano de proyección. Es un plano imaginario infinito ubicado arbitrariamente.

3.-Objeto. Es el elemento representar.

4.-Rayos proyectantes. Son las rectas que unen al centro de proyección con cada uno de los puntos del objeto y luego intersectan el plano de proyección.

5.-Proyección. es la intersección de cada uno de los rayos proyectantes con el plano de proyección. Es, en principio, la representación del objeto en un sistema bidimensional(plano de proyección)

Nótese en la figura, que la representación del objeto no da, en este caso una figura igual. Sino una deformación de la misma. Más adelante veremos como representar al objeto en un sistema bidimensional que permita darnos información de forma y dimensiones inequívocas.

Bienvenidos. 

Este blog pretende ser un vínculo entre docentes, alumnos y usuarios en general de "Herramientas de Geometría Descriptiva". 

Aquí podrá expresar, a través de comentarios todo lo relacionado con el tema. También podrá realizar consultas y pedir explicaciones y desarrollos de los elementos que crea conveniente. Saludos cordiales, Fernando Mallo