Desarrollos e intersecciones

desarrollo de prisma, cilindro, pirámide y cono. intersecciones de los mismos con planos inclinados.

Proyecciones. (Video)

En este video se puede ver una clase magistral de proyecciones. Existen otros 18 videos también recomendables. Si se visualizan desde youtube, se puede utilizar la traducción on line. Se recomienda la traducción al inglés ya que al español es bastante mala.

1.3.1.-Representación del Punto. Del Espacio al plano

Para representar un punto ubicado en el espacio (Fig . 1) en un sistema plano(Fig. 3) se debe recurrir al abatimiento de los planos de proyección(Método Monge ISO-E). Dejando fijo, por ejemplo, el plano p2, se pueden rotar (Fig. 2) los planos anteriormente ortogonales de forma tal que sean coplanares con p2. Así se obtiene una figura plana, que no es más que la representación del punto en el espacio.

 Esta representación plana se puede simplificar eliminando los contornos de los planos de proyección y dibujando solamente una línea horizontal ( Linea de tierra) y una vertical( Linea auxiliar)(Fig. 4).

La línea de tierra representa el límite entre el plano de proyección vertical (p2) y el horizontal (p1). La línea auxiliar, representa el límite entre el plano de proyección vertical (p2) y el lateral (p3).

Por debajo de la línea de tierra se deberán dibujar dos segmentos que indican la posición del plano horizontal.  

Como conclusión se puede decir que, un punto ubicado arbitrariamente en el espacio se puede representar de forma exacta  por tres proyecciones ortogonales y paralelas. La distancia que hay desde el punto y cada uno de los planos de proyección se puede medir en la representación.

A partir de ahora se representarán los puntos, rectas y cualquier objeto con este sistema de proyecciones inventado por Gaspard Monge y que lleva su nombre “Sistema MONGE”.  

1.3.-Representación del punto en el espacio

Para representar un punto en el espacio se utilizará un sistema de proyecciones paralelas y ortogonales. Para ello se define un triedro formado por tres planos de proyección ortogonales entre sí (p1, p 2, p 3)

 Dado un punto (P) ubicado arbitrariamente en el espacio,  se puede obtener una proyección del mismo (P”) ubicando al observador en el infinito, de forma tal que el rayo proyectante sea ortogonal al plano de proyección(p2). Como se puede ver en la figura, el rayo proyectante que nace en el observador, pasa por el punto (P) y define una proyección (P”) producto de la intersección entre el plano de proyección y el rayo proyectante.

De la misma manera, se obtienen las tres proyecciones del punto (P) sobre los tres planos de proyección principales. Notesé que el observador cambia de posición para obtener cada proyección (P’,P”,P’’’).

5.1.-Desarrollo del cilindro recto

Dado un cilindro recto y un plano inclinado (a) representados por s sus proyecciones horizontal y vertical (Fig. 1), se realizará el desarrollo de la superficie cilíndrica cortada por el plano.

Para ello, se dividirá el perímetro de la base del cilindro en 8 partes iguales. Cada una de las divisiones define una generatriz perteneciente a la superficie cilíndrica representadas por las rectas A”J”, B”K”, C”L”, D”M”, E”N”, F”O”, G”P”, H”Q”.  Estas rectas, por estar ubicadas de forma perpendicular al plano de proyección horizontal, están en Verdadera Magnitud (VM). Cada una de las generatrices contiene un punto producto de la intersección con el plano a  (1”,2”…,8”).  También están en VM las distancias entre estos puntos y la base del cilindro. La distancia que existe entre dos generatrices continuas también está en VM en la proyección horizontal y corresponde, por ejemplo la cuerda (A’B’). Esta cuerda mide 1/8 del perímetro de la base.

Se puede entonces, confeccionar el desarrollo de la superficie cilíndrica cortada, transportando las medidas en VM   a una superficie plana (Fig.3). El método consiste en dibujar una segmetno horizontal (EE) de longitud igual al preímetro de la base. Luego dividir este segmento en ocho partes iguales y dibujar de forma ortogonal una generatriz del cilindro por cada división. Sobre cada una de ellas se pueden posicionar los puntos de intersección con a (1,2,…,8) . Uniendo los puntos recién obtenidos se obtiene la curva 1,2,3,4,5,6,7,8,1 intersección entre el cilindro y el plano dado.

 La figura 2 muestra la transición entre la superficie cilíndrica y su desarrollo.

En el próximo capítulo se obtendrá en verdadera magnitud la sección generada por la intersección entre a y el cilindro recto.

1.2.-Clasificación de las proyecciones

De acuerdo con la posición del observador, se pueden clasificar las proyecciones de la siguiente manera.

Proyecciones centrales.(fig 1) Es cuando el observador se encuentra a una distancia finita respecto al plano de proyección. Los rayos proyectantes son lineas concurrentes. Un caso particular de este tipo de proyecciones son las perspectivas con puntos de fuga.

Proyecciones paralelas. Es cuando el observador se encuentra a una distancia infinita respecto al plano de proyección. Los rayos proyectantes son paralelos entre sí. y pueden incidir en forma perpendicular u oblicua al plano de proyección.

• Proyecciones paralelas oblicuas.(fig 2) Es cuando los rayos de proyección (paralelos entre sí) forman un ángulo distinto de 90° con el plano de proyección. Un caso particular es la perspectiva caballera.
• Proyecciones paralelas ortogonales. (fig 3) Es cuando los rayos de proyección (paralelos entre sí) forman un ángulo de 90° con el plano de proyección. Un caso particular es la perspectiva isométrica.

1.1.-Proyección. Definición.Elementos de una proyección

Una proyección es la representación de un objeto (en general tridimensional) en un sistema bidimensional (hoja de papel,  pantalla, chapa, etc).

Para representar un objeto por medio de una proyección debe considerarse la presencia de estos elementos:

1.-Observador. También denominado "centro de proyección". Es el punto que representa la posición del ojo de la persona que está realizando la proyección. en él concurren los rayos proyectantes. El observador puede tomar cualquier posición en el espacio. Si está ubicado a una distancia finita respecto del plano de proyección se denomina "Centro de Proyección Propio" y si está ubicado a una distancia infinita se denomina "Centro de proyección impropio".

2.-Plano de proyección. Es un plano imaginario infinito ubicado arbitrariamente.

3.-Objeto. Es el elemento representar.

4.-Rayos proyectantes. Son las rectas que unen al centro de proyección con cada uno de los puntos del objeto y luego intersectan el plano de proyección.

5.-Proyección. es la intersección de cada uno de los rayos proyectantes con el plano de proyección. Es, en principio, la representación del objeto en un sistema bidimensional(plano de proyección)

Nótese en la figura, que la representación del objeto no da, en este caso una figura igual. Sino una deformación de la misma. Más adelante veremos como representar al objeto en un sistema bidimensional que permita darnos información de forma y dimensiones inequívocas.

Bienvenidos. 

Este blog pretende ser un vínculo entre docentes, alumnos y usuarios en general de "Herramientas de Geometría Descriptiva". 

Aquí podrá expresar, a través de comentarios todo lo relacionado con el tema. También podrá realizar consultas y pedir explicaciones y desarrollos de los elementos que crea conveniente. Saludos cordiales, Fernando Mallo